又因为前面已经证明1 + 0 = 1 ，所以(1 + 0)' = 1' 。

而我们之前定义2 = 1' ，所以1 + 1 = 2 。

林云完成了基于皮亚诺公理体系的证明后，并没有停下思考的脚步。他知道，数学的证明方法是多样的，从不同的角度出发，可能会得到不同的证明思路。他开始思考集合论的方法。

在集合论中，数可以用集合来表示。林云在笔记本上画下了一些简单的集合图形，开始从集合的角度进行证明。他写道：“我们可以用集合的基数来定义自然数。空集的基数为0 ，即|?| = 0 。”然后，他定义了一个只包含空集的集合，这个集合的基数就是1 ，即|{?}| = 1 。接着，他定义了一个包含前面两个集合的集合，这个集合的基数就是2 ，即|{?, {?}}| = 2 。

对于加法，他这样解释：“两个不相交集合的并集的基数等于这两个集合基数的和。”他在纸上画了两个不相交的圆，分别代表两个集合A和B 。假设集合A的基数为1 ，即|A| = 1 ，集合B的基数也为1 ，即|B| = 1 。那么A和B的并集C = A ∪ B 。

因为A和B不相交，所以根据集合论中并集基数的定义，|C| = |A| + |B| 。

又因为|A| = 1 ，|B| = 1 ，且C = {?, {?}}（通过前面集合的定义可以得出），|C| = 2 。

所以1 + 1 = 2 。

林云觉得这样的证明还不够直观，他又想到了从逻辑推理的角度来证明。他在笔记本上写下了一系列的逻辑符号和推理过程：

设命题P(n)表示“1 + n = (n + 1)” 。

首先证明P(0)成立，即1 + 0 = 0 + 1 。根据加法的交换律（在数学体系中，加法交换律是可以通过公理推导出来的，这里为了简化证明过程，直接使用），1 + 0 = 0 + 1 = 1 ，所以P(0)成立。

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假设P(k)成立，即1 + k = (k + 1) 。

现在要证明P(k + 1)成立，即1 + (k + 1) = ((k + 1) + 1) 。